Constructing a method for the geometrical modeling of the Lame superellipses in the oblique coordinate systems

Abstract

Еліптичним кривим притаманний певний недолік, пов’язаний з тим, що в точках перетину з осями координат еліпси мають дотичні перпендикулярні до цих осей. Проте в деяких практичних застосуваннях еліпсів подібна ситуація є небажаною. Запобігти цьому можна моделюванням вказаних кривих у косокутних координатах, які, в свою чергу, віднесені до деякої вихідної ортогональної координатної системи. Під супереліпсами Ламе розуміються криві, в рівняннях яких застосовуються показники степенів, відмінні від двох, що є притаманним для звичайних еліпсів. Варіюванням цими показниками степенів можна отримати широке коло різноманітних кривих. У цій роботі запропоновано метод геометричного моделювання супереліпсів у косокутних координатних системах. Вихідними даними для моделювання є координати двох точок з відомими в них кутами нахилу дотичних. За вісі косокутної системи координат приймаються прямі, проведені наступним чином. Через першу точку будується пряма паралельно дотичній в другій точці, а в другій точці – пряма паралельно дотичній в першій точці. Показано, що завдяки цим заходам можна забезпечити потрібні значення кутів нахилу дотичних в точках перетину супереліпса з осьовими лініями. Доведено, що дугу супереліпса можна проводити через третю задану точку з потрібним в ній кутом нахилу дотичної, але це потребує визначення числовим методом показників степенів у рівнянні супереліпса. Подібна ситуація має місце, наприклад, при розробці проектів профілів лопаток осьових турбін. На підставі запропонованого методу моделювання дуг супереліпсів розроблено комп’ютерний код, який можна застосовувати при описі контурів виробів технологічно складних галузей промисловості.