Construction of a method for representing an approximation model of an object as a set of linear differential models

Abstract

This paper has demonstrated the need to use models not only at the stage of theoretical research and design operations but also when studying existing objects. The techniques to build them on the basis of identification methods have been analyzed. The identification methods have been shown when determining the parameters of processes and objects. The difficulty of defining the models' structures has been emphasized.

A method has been proposed to determine the structure of an arbitrary object's model as the approximating set of linear differential models. The data on the object's response to external impact have been used as source data. Demonstrating the method's feasibility employed a set of standard links and a standard external influence in the form of a stepped function as a model. This approach helps assess the adequacy of the obtained approximation results based on the precise solutions available. In a general case, there are no specific requirements for the form of an external influence and an object's reaction.

The data that reflect the object's response should allow their approximation using a polynomial. That makes it possible to represent them following a Laplace transform in the form of a truncated power series in the image domain. The transfer function is written in a general form as a rational fraction. It underlies a Padé approximant of the truncated power series.

The comparison of the available accurate calculation results and those derived on the basis of the built model has shown good agreement. In the cases under consideration, the computation error did not exceed the 5 % value permissible for engineering calculations. This is also the case when using the approximation of original data over a limited period.

The response of the resulting model to the external influence that simulates a real pulse was investigated. The comparison with precise results showed a discrepancy not exceeding the value permissible for engineering calculations (<5 %)

Показано необхідність використання моделей не тільки на стадії теоретичних досліджень і проектних робіт, але і при дослідженні вже існуючих об'єктів. Проаналізовано способи їх побудови на основі методів ідентифікації. Відзначено використання методів ідентифікації для визначення параметрів процесів і об'єктів. Підкреслено складність визначення структури моделей.

Запропоновано метод визначення структури моделі довільного об'єкта як апроксимуючої сукупності лінійних диференціальних моделей. В якості вихідних даних використані реакції об'єкта на зовнішній вплив. Для демонстрації працездатності методу в якості моделі використана сукупність стандартних ланок і стандартний зовнішній вплив у вигляді ступінчастої функції. Такий підхід дозволяє оцінити адекватність одержаних апроксимаційних результатів на основі наявних точних рішень. У загальному випадку спеціальних вимог до форми зовнішнього впливу і реакції об'єкта не висувається.

Дані, що відображають реакцію об'єкта, повинні давати можливість апроксимувати їх за допомогою полінома. Це дозволяє представити їх після перетворення Лапласа у в формі усіченого степеневого ряду в просторі зображень. Передавальна функція записується в загальному вигляді як раціональний дріб. Вона є основою для апроксимації Паде усіченого степеневого ряду.

Порівняння наявних точних результатів розрахунків і отриманих на основі побудованої моделі показало гарний збіг. У розглянутих випадках похибка обчислень не виходила за допустиму для інженерних розрахунків величину 5 %. Це забезпечується і в разі використання апроксимації вихідних даних для обмеженого проміжку часу.

Була досліджена реакція отриманої моделі на зовнішній вплив, що імітує реальний імпульс. Порівняння з точними результатами показало розбіжність, що не перевищує допустимої величини для інженерних розрахунків (<5 %)

Показана необходимость использования моделей не только на стадии теоретических исследований и проектных работ, но и при исследовании уже существующих объектов. Проанализированы способы их построения на основе методов идентификации. Отмечено использование методов идентификации для определения параметров процессов и объектов. Подчеркнута сложность определения структуры моделей.

Предложен метод определения структуры модели произвольного объекта как аппроксимирующая совокупность линейных дифференциальных моделей. В качестве исходных использованы данные реакции объекта на внешнее воздействие. Для демонстрации работоспособности метода в качестве модели использована совокупность стандартных звеньев и стандартное внешнее воздействие в виде ступенчатой функции. Такой подход позволяет оценить адекватность получаемых аппроксимационных результатов на основе имеющихся точных решений. В общем случае специальных требований к форме внешнего воздействия и реакции объекта не предъявляется.

Данные, отражающие реакцию объекта, должны давать возможность аппроксимировать их с помощью полинома. Это позволяет представить их после преобразования Лапласа в форме усеченного степенного ряда в пространстве изображений. Передаточная функция записывается в общем виде как рациональная дробь. Она является основой для аппроксимации Паде усеченного степенного ряда.

Сравнение имеющихся точных результатов расчетов и полученных на основе построенной модели показало хорошее совпадение. В рассмотренных случаях погрешность вычислений не выходила за допустимую для инженерных расчетов величину 5 %. Это обеспечивается и в случае использования аппроксимации исходных данных для ограниченного промежутка времени.

Была исследована реакция полученной модели на внешнее воздействие, имитирующее реальный импульс. Сравнение с точными результатами показало расхождение, не превышающее допустимой величины для инженерных расчетов (<5 %)