Simplified Grinding Temperature Model Study

Abstract

A study of a simplified mathematical model for determining the grinding temperature is performed. According to the obtained results, the equations of this model differ slightly from the corresponding more exact solution of the one-dimensional differential equation of heat conduction under the boundary conditions of the second kind. The model under study is represented by a system of two equations that describe the grinding temperature at the heating and cooling stages without the use of forced cooling. The scope of the studied model corresponds to the modern technological operations of grinding on CNC machines for conditions where the numerical value of the Peclet number is more than 4. This, in turn, corresponds to the Jaeger criterion for the so-called fast-moving heat source, for which the operation parameter of the workpiece velocity may be equivalently (in temperature) replaced by the action time of the heat source. This makes it possible to use a simpler solution of the one-dimensional differential equation of heat conduction at the boundary conditions of the second kind (one-dimensional analytical model) instead of a similar solution of the two-dimensional one with a slight deviation of the grinding temperature calculation result. It is established that the proposed simplified mathematical expression for determining the grinding temperature differs from the more accurate one-dimensional analytical solution by no more than 11 % and 15 % at the stages of heating and cooling, respectively. Comparison of the data on the grinding temperature change according to the conventional and developed equations has shown that these equations are close and have two points of coincidence: on the surface and at the depth of approximately threefold decrease in temperature. It is also established that the nature of the ratio between the scales of change of the Peclet number 0.09 and 9 and the grinding temperature depth 1 and 10 is of 100 to 10. Additionally, another unusual mechanism is revealed for both compared equations: a higher temperature at the surface is accompanied by a lower temperature at the depth.

У роботі проведене дослідження спрощеної математичної моделі визначення температури шлі-фування. За отриманими рівняннями цієї моделі є відмінність результатів від відповідного більш точного розв’язання одновимірного диференціального рівняння теплопровідності за граничних умов другого роду. Досліджувана модель представлена системою з двох рівнянь, що описують температуру шліфування на ета-пах нагрівання і охолодження без використання примусового охолодження. Обсяг досліджуваної моделі від-повідає сучасним технологічним операціям шліфування на верстатах із ЧПК для умов, коли числове значення числа Пекле перевищує 4. Це, у свою чергу, відповідає критерію Егера для так званого джерела тепла, яке швидко рухається, для якого параметр швидкості заготовки може бути еквівалентно за температурою заміне-ний часом дії джерела тепла. Це дає можливість використовувати більш простий розв’язок одновимірного диференціального рівняння теплопровідності при граничних умовах другого роду (одновимірна аналітична модель) замість аналогічного двовимірного розв’язку з невеликим відхиленням результатів розрахунку тем-ператури шліфування. Встановлено, що запропонований спрощений математичний вираз для визначення температури шліфування відрізняється від більш точного одновимірного аналітичного розв’язку не більше ніж на 11 % і 15 % на етапах нагрівання та охолодження відповідно. Порівняння даних щодо зміни темпера-тури шліфування за звичайним і розробленим рівняннями показало, що ці рівняння близькі та мають дві точ-ки збігу: на поверхні та на глибині (приблизно зниження температури втричі). Також встановлено, що харак-тер співвідношення між масштабами зміни числа Пекле (0,09 та 9) та глибиною температури подрібнення (1 та 10) становить 100 (9/0,09) і 10 (10/1) відповідно. Крім того, розкрито ще один нетрадиційний механізм для обох порівняних рівнянь: більш висока температура на поверхні супроводжується нижчою температурою на глибині.