Analysis of smooth numbers search methods for solving the discrete logarithm problem

Abstract

This paper describes the formulation of the discrete logarithm problem, which is an important mathematical problem. The algorithm for computing the discrete logarithm of Silver-Pohlig-Hellman is analyzed and its drawbacks arising from the use of numbers of a special type, called smooth, are indicated. The concept of a smooth prime number was introduced, a classification was introduced depending on the increase of the successive factors on the perfectly smooth and partially smooth prime numbers. It is shown that to search for smooth primes and analyze their properties, it is necessary to know how primes are distributed depending on the number of simple factors. The problem of constructing a measure of smoothness is given.

В данной работе описана постановка задачи дискретного логарифмирования, ко- торая является важной математической проблемой. Проанализирован алгоритм вычисления дискретного логарифма Силвера-Полига-Хеллмана и указаны его недостатки, возникающие из-за использования чисел специального типа, называемых гладкими. Было введено понятие гладкого простого числа, предложена классификация в зависимости от роста подряд расположенных множителей на идеально гладкие и частично гладкие простые числа.

У даній роботі описана постановка задачі дискретного логарифмування, яка є важливою математичної проблемою, яка наразі є невирішеною. Проаналізовано алгоритм обчислення дискретного логарифма Силвера-Поліга-Хеллмана і вказані його недоліки, що виникають через використання чисел спеціального типу, званих гладкими. Вказана проблема, яка виникає при пошуку гладких простих чисел великої розрядності. Процес пошуку таких чисел уповільнює алгоритм Силвера- Поліга-Хеллмана, крім того не відомо чи можливо знайти гладкі прості числа необхідної розрядності, адже їх кількість серед простих чисел надзвичайно мала, що ставить під питання ефективність використання алгоритму. Було введено поняття гладкого простого числа, запропонована класифікація в залежності від зростання поспіль розташованих множників на ідеально гладкі і частково глад- кі прості числа. Були проаналізовані перші десять мільйонів простих чисел на гладкість, серед яких ідеально гладких виявлено кілька десятків. Виникає необхідність у перевірці гіпотези про кінцеву кількість ідеально гладких чисел. Частково гладкі прості числа можуть значно уповільнити роботу алгоритму, адже невідома точна структура числа, кількість співмножників та різниця між ними. Також враховується, що при зростанні простих чисел, різниця між ними теж зростатиме. Показано, що для пошуку гладких простих чисел і аналізу їх властивостей необхідно знати, як розподілені прості числа в залежності від кількості простих співмножників, адже у випадку задачі дискретного логарифмування необхідно знаходити гладкі числа з кількістю співмножників більшою за 5-6. Наведені результати розподілу перших десяти мільйонів простих чисел та видвинуті припущення щодо можливих законів розподілу. Наведено проблема побудови міри гладкості, яка має бути розглянута в залежності від різниці суміжних співмножників та їх степенів.