Обобщенные одномерные клеточные автоматы и дискретные динамические системы

Abstract

Рассматривается проблема представления клеточных автоматов в виде разност- ных уравнений. Для этого строится система типа Диффузия-Реакция. При этом, уравнение Реакции представляется как отображение сумм функций «тент». Такое представление позволяет рассматривать клеточные автоматы с произвольным конечным или бесконечным числом состояний. Построена модель линейных клеточных автоматов, действующих по правилам кода Вольфрама [1]. Приведены примеры

В роботі розглядається проблема подання клітинних автоматів (КА) у вигляді різницевих рівнянь. КА присвячено безліч робіт, вони широко застосовуються в багатьох сферах природознавства, ними зручно моделювати різні процеси та явища (реакція Білоусова-Жаботинського [2], турбулентність [3], розширення епідемій [4], динаміка популяцій [5], електоральні процеси [6] та ін.). В комп’ютерних науках використовується правило 30 коду Вольфрама для створення псевдовипадкових послідовностей цілих чисел [1], наприклад в пакеті Mathematica. Як відомо, КА – це динамічна система. Будування алгоритмів дослідження та керування КА виглядає доволі громіздко через використання безлічі логічних операцій. Тому набагато легше представляти КА через аналітичний вигляд, наприклад, через систему різницевих рівнянь. Для цього будується система типу «Дифузія-Реакція». При цьому, рівняння Реакції задається як відображення сум функцій «тент». Таке подання дозволяє розглядати клітинні автомати з довільним кінцевим або нескінченним числом станів на основі рівнянь Дифузії та Реакції. Крім того, з’являється можливість в подальшому застосовувати відомі методи керування динамічними системами, використовуючи інформацію про попередні стани системи, розглядати ці системи ширше та відстежувати нові властивості КА, регулярні структури, періодичні структури, а також структури, близькі до періодичних. Даний підхід до дослідження КА дає можливість просунутися в дослідженнях конкретних систем різноманітної природи (фізичних, біологічних, технічних, інформаційних, соціальних і т.п.), наприклад, вирішувати проблеми локалізації епідемій, регуляризації турбулентних режимів, шляхом їх руйнування. Також побудована модель лінійних клітинних автоматів, діючих за правилами коду Вольфрама [1]. Приведені приклади

Cellular automata (CA) are a research subject of plethora of works. CA are applied in many areas of natural science and suitable for modeling of difference processes, phenomenon (BelousovZhabotinskiy’s Reaction [2], the turbulence [3], epidemic spread [4], population dynamic [5], electoral processes [6], etc.). The 30th rule of Wolfram’s Code [1] is widely spread in computer sciences for creating of pseudorandom sequences of integers. As known, the CA is a dynamic system. Usually CA set by logical operations, set of rules. It is quite cumbersome for program realization and impact on debugging time. The easier way is creation of the algorithm by analytic representation and don’t use enormous amount of loops. Object of this work is representation of CA as a system of difference equations. It allows us to generalize CA, thus we could model it in spaces of any dimensions and it cells could take an arbitrary finite or infinite number of states. Further we would apply famous control methods of dynamical systems using the information of previous states of the system. Besides, this approach helps us to consider CA wider and find new features of these systems, regular structures, periodic structures or structures that are close to periodic ones. In this work we use the superposition of linear and nonlinear maps that calls as Diffusion and Reaction accordingly. This approach is applied on CA that work as Wolfram Code [1] respectively. Examples of suggested approach applying are illustrated in the last section. All in all we have represented CA in form of a system of difference equations. In further study it would allow to research phenomenon connected with CA construction or we could control CA due to method represented in [7, 8].