Behavior of fixed point congruent periodic trajectories of nonlinear maps in dynamical systems theory

Abstract

This paper considers problems that arise during number sequence generation based on nonlinear dynamical systems. Complex systems can depend on many parameters analysis and examination of one-dimensional maps was performed since these maps are dynamical systems. Dependence of iterative fixed points for nonlinear maps on the properties of functions and function domain numbers was investigated. Several approaches to randomness evaluation and, accordingly, methods for estimating the degree of randomness of a particular sequence were considered. The properties and internal structure of sequences obtained on the basis of nonlinear maps were also examined in accordance to their influence on the degree of randomness.

В даній роботі розглядаються аспекти формування числових послідовностей на основі нелінійних динамічних систем. Складні системи залежні від властивостей багатьох параметрів, тому аналіз та детальний розгляд одновимірних відображень був здійснений у даній роботі, оскільки дані відображення представляють собою приклад простих динамічних систем. Вплив циклічних нерухомих точок також був предметом дослідження в роботі. Було розглянуто структуру траєкторій наведених відображень, а також представлено початкові спроби їхнього представлення та аналізу. Показано, що властивості простих чисел, за допомогою яких формуються псевдовипадкові послідовності, впливають на наявність у внутрішній структурі отриманих послідовностей фрагментів, що істотно погіршують міру випадковості та роблять послідовність непридатною до використання в тих задачах, де вимагається непрогнозованність елементів числової послідовності. Таким чином,висувається вимога щодо ступеня подібності будь-яких обраних підпослідовностей при генерації псевдовипадкових послідовностей. Аналізуючи послідовності з точки зору непрогнозованості, розглядається можливість отримання елементів послідовності на основі інформації про попередні елементи цієї послідовності. Відповідно, наявність періодичних подібних підпослідовностей порушує умову непрогнозованості і не дозволяє розглядати таку послідовність як псевдовипадкову.Результати отримані в ході роботи дозволяють оцінити кожне з використаних відображень та зробити висновок, що для отримання надійних псевдовипадкових послідовностей необхідно будувати методи, що дозволять отримувати найменшу кількість внутрішніх подібних підпослідовностей і, відповідно, найменшою мірою їхньої подібності.

В данной работе рассматриваются аспекты формирования числовых последовательностей на основе нелинейных динамических систем. Сложные системы зависят от свойств многих параметров, следовательно анализ и детальное рассмотрение одномерных отображений был осуществлен в данной работе, так как данные отображения представляют собой динамичес- кие системы. Влияние циклических неподвижных точек также было предметом исследования в работе. Были рассмотрены структуры траекторий приведенных отражений, а также представлены начальные попытки их представления и анализа.