Аналіз похибок математичного моделювання динамічних об’єктів, які описуються інтегральними рівняннями

Abstract

Вибір інтегральних рівнянь при математичному моделюванні, в залежності від досліджуваного явища, обумовлено наступними факторами: неможливість складання інших рівнянь (суть ― математичних моделей досліджуваних явищ); необхідність зниження мірності рівнянь (тобто кількості незалежних змінних) при розв’язуванні задач для суцільних середовищ; можливість компактного формулювання граничних задач; досягнення спрощень при обчисленнях; можливість простого та природного переходу до систем кінцевовимірних рівнянь (при дискретизації неперервних задач). Слід підкреслити особливу роль інтегральних рівнянь при розв’язуванні граничних задач та аналізі випадкових, в тому числі динамічних процесів. Застосування методу математичного моделювання, який являє собою сукупність прийомів визначення математичних зв’язків між відомими вихідними даними та невідомою характеристикою об’єкта, що досліджується у вигляді інтегральних рівнянь чи перетворень, є важливим не тільки тому, що це питання недостатньо висвітлено в літературі, але також і тому, що своєрідність інтегральних співвідношень та умов їх складання у значній мірі визначають вибір обчислювальних методів та засобів при числовій реалізації. Насамперед зазначена особливість полягає у аналізі точності обчислювальних процедур, які застосовуються в ході математичного моделювання із застосуванням моделей об’єктів у вигляді інтегральних рівнянь, оскільки в якості вхідних даних при цьому використовуються експериментальні дані, точність яких визначається застосованою вимірювальною апаратурою та впливом зовнішніх завад при вимірюваннях. Тому аналіз похибок математичного моделювання динамічних об’єктів на основі моделей у вигляді інтегральних рівнянь має актуальне значення при розв’язуванні більш широких задач моделювання та управління динамічними об’єктами.

The choice of integral equations in mathematical modeling, depending on the investigated phenomenon, is determined by the following factors: the impossibility of compiling other equations (the essence is mathematical models (MM) of the investigated phenomena); the need to reduce the dimensionality of equations (that is, the number of independent variables) when solving problems for continuous environments; the possibility of a compact formulation of boundary problems; achieving simplifications in calculations; the possibility of a simple and natural transition to systems of finite-dimensional equations (when discretizing continuous problems). It should be emphasized the special role of integral equations in solving boundary value problems and analyzing random, including dynamic, processes. The application of the mathematical modeling method, which is a set of techniques for determining mathematical relationships between known initial data and an unknown characteristic of the object under investigation in the form of integral equations or transformations, is important not only because this issue is not sufficiently covered in the literature, but also because the peculiarity of the integral relations and the conditions of their compilation largely determine the choice of computational methods and tools for numerical implementation. First of all, the specified feature consists in the analysis of the accuracy of computational procedures that are used in the course of mathematical modeling using the MM of objects in the form of integral equations, since experimental data are used as input data, the accuracy of which is determined by the used measuring equipment and the influence of external interference during measurements. Therefore, the analysis of errors of mathematical modeling of dynamic objects based on MM in the form of integral equations is of urgent importance in solving broader problems of modeling and control of dynamic objects.