Об устойчивом прецизионном моделировании оператора запаздывания

Abstract

Исследуются особенности моделирования оператора запаздывания с использованием рядов Тейлора и Паде. Целью исследования является определение границ устойчивости аппроксимации запаздывания рядом Тейлора при увеличении числа членов ряда. Научной значимостью работы является уточнение условий применимости ряда Тейлора для аппроксимации оператора запаздывания, что стало особенно актуально в связи с распространением современных программных пакетов, позволяющих прецизионное моделирование сложных систем. Для определения границ устойчивости использован критерий Рауса. Проведено вычисление распределения корней аппроксимации для различного количества членов ряда и величины времени запаздывания. Получен вывод, что доказательства сходимости соответствующего функционального ряда недостаточно и, сходимость никак не гарантирует устойчивости аппроксимации на основе ряда. Практическим значением результатов является обоснование требования исследования не только сходимости функционального ряда, но и его устойчивости в зависимости от порядка аппроксимации и параметров аппроксимируемого оператора.

Досліджуються особливостей моделювання оператора запізнення із використанням рядів Тейлора і Паде. Метою дослідження є визначення меж стійкості апроксимації запізнення рядом Тейлора при збільшенні кількості членів ряду. Науковою значимістю роботи є уточнення умов застосування ряду Тейлора для апроксимації оператора запізнення, що стало особливо актуально в зв’язку із поширенням сучасних програмних пакетів, які дозволяють прецизійне моделювання складних систем. Для визначення меж стійкості використано критерій Рауса. Був проведений розрахунок розподілення корнів апроксимації для різної кількості членів ряду і величини часу запізнення. Отримано висновок, що доказу збіжності відповідного функціонального ряду недостатньо, і, збіжність ніяк не гарантує стійкості апроксимації на основі ряду. Практичним значенням результатів роботи є обґрунтування вимоги дослідження не тільки збіжності функціонального ряду, але і його стійкості в залежності від порядку апроксимації і, параметрів апроксимуючого оператора.

The article is devoted to the research of delay operator modeling features using Taylor and Pade series. The purpose of the research is to determine the stability boundaries for approximation of the delay operator by Taylor series when the number of terms in the series is increasing. The scientific significance of the research states the Taylor series applicability conditions for the delay operator modelling. The conditions are important for modern software that allows precise modeling of complex systems. The Routh criterion is used to determine the stability boundaries. The calculations of the delay operator approximation poles for different number of series terms and the delay value were made. The scientific value of the research is the conclusion that the proof of corresponding functional series convergence is insufficient to use this series in modelling systems. The convergence of series does not guarantee the approximation stability and, respectively, applicability of the series. The practical value of the work results is grounded on the requirement to investigate not only convergence of the series, but also the approximation stability taking into account the approximation order and the operator parameters.