Spatial synchronization of cellular automata in evolutionary processes simulation tasks

Abstract

Many applied tasks are simulated by difference equations that describe the vector of system states evolution in time. However it is required to take into account the spatial structure of simulated processes or systems in some tasks. In paper the possibility of a spatio-temporal processes simulation by cellular automata is considered. The brief review of two-dimensional cellular automata properties is provided. The principle of the most famous two-dimensional cellular automata “Game of Life” is described. Also the general way to set these automata in an analytical form by Reaction-Diffusion equation is considered. Concrete forms of the Reaction equation and Diffusion equation are constructed and invariant sets for this system are defined. The generalization of analytical cellular automata representation in total is provided. As an example, the model of population development is considered. It utilizes the classic Ferhulst equation, in which the spatial structure is taken into account having form of the cumulative neighbors’ impact on population changes rate. As per using of analytical form of cellular automata, different schemas of system spatio-temporal characteristics control are suggested. These schemas are based on feedback: delayed feedback (that is one that uses previous system states) and predictive feedback (that is one that uses predicted system states). As a result there is managed to synchronize spatial configuration of cellular automata and it can be interpreted as stable population development. Particularly, cellular automata could work in cycle with cycle length set earlier. For cellular automata evolution visualization the algorithms and their computer implementation are developed. Discrepancy function is suggested, due to which it is possible to evaluate the synchronization accuracy. Research results and examples of received configurations are presented.

Більшість прикладних задач моделюються за допомогою різницевих рівнянь, що описують еволюцію вектору станів систем із плином часу. Проте в деяких задачах необхідно також враховувати просторову структуру процесів та систем, які моделюються. У статті розглядається можливість моделювання просторово-часових процесів за допомогою клітинних автоматів. Наведено короткий огляд властивостей двовимірних клітинних автоматів. Описано принцип роботи найвідомішого двовимірного клітинного автомату «Гра Життя», а також розглянуто узагальнений спосіб побудови цього автомату в аналітичній формі за допомогою рівняння Реакції-Дифузії. Побудовані конкретні форми рівняння Реакції та рівняння Дифузії, та визначені інваріантні множини для цієї системи. Наведено узагальнення аналітичного виду клітинного автомату в цілому. В якості прикладу булла розглянута модель розвитку популяції, що використовує класичне рівняння Ферхюльста, в якій просторова структура враховується у вигляді сукупного впливу сусідів на швидкість зміни популяції. Використовуючи аналітичну форму клітинного автомату, були запропоновані різні схеми контролю просторово-часовими характеристиками системи. Ці схеми базуються на принципі зворотного зв’язку: з запізненням (тобто, що використовує попередні стани системи) та з прогнозом (що використовує передбаченні стани системи). В результаті вдавалось синхронізувати просторову конфігурацію клітинного автомату, що можна інтерпретирувати як стійкий розвиток популяції. Зокрема, клітинний автомат міг функціонувати циклічно із заздалегідь заданною довжиною циклу. Для візуалізації еволюції автоматів були розроблені алгоритми та їх комп’ютерна реалізація. Була запропонована функція нев’язки, по якій можна оцінювати точність синхронізації. В результаті дослідження побудовано приклади отриманих конфігурацій.

Многие прикладные задачи моделируются с помощью разностных уравнений, которые описывают эволюцию вектора состояний системы с течением времени. Однако в некоторых задачах требуется также учитывать пространственную структуру моделируемых процессов или систем. В статье рассматривается возможность моделирования пространственновременных процессов с помощью клеточных автоматов. Приведен краткий обзор свойств двумерных клеточных автоматов. Описан принцип работы известнейшего двумерного клеточного автомата «Игра Жизнь», а также рассмотрен обобщенный способ задания этого автомата в аналитической форме с помощью уравнения Реакции-Диффузии. Построены конкретные формы уравнения Реакции и уравнения Диффузии, и определены инвариантные множества для этой системы. Приводится обобщение аналитического представления клеточного автомата в целом. В качестве примера рассмотрена модель развития популяции, использующая классическое уравнение Ферхюльста, в которой пространственная структура учитывается в виде совокупного влияния соседей на скорость изменения популяции. Используя аналитическую форму клеточного автомата, были предложены различные схемы управления пространственно-временными характеристиками системы. Эти схемы основаны на принципе обратной связи: запаздывающей (то есть, использующей предыдущие состояния системы) и прогнозной (использующей предсказанные состояния системы). В результате удавалось синхронизировать пространственную конфигурацию клеточного автомата, что можно интерпретировать как устойчивое развитие популяции. В частности, клеточный автомат мог функционировать циклически с заранее заданной длиной цикла. Для визуализации эволюции автоматов были разработаны алгоритмы и их компьютерная реализация. Была предложена функция невязки, по которой можно оценивать точность синхронизации. Представлены результаты исследования и примеры полученных конфигураций.