Ambiguities and their emergence conditions in self-testing of multiprocessor systems

Abstract

The article addresses the issue of organizing self-testing in multiprocessor systems. It examines cases where the state of certain processors (functional or faulty) remains ambiguous after executing a specific set of mutual processor tests. Determining the state of such processors requires additional capabilities, such as extra connections between processors. Ambiguity most often arises when the number of processors testing a given processor is less than the allowable number of faults. The study focuses on multiprocessor systems whose diagnostic graphs can be represented as circulant graphs, particularly graphs with two incoming and two outgoing edges. This relates to solving the problem of minimizing the number of mutual tests among system processors (each processor is tested by only two others). However, this approach can lead to ambiguity in determining the state of individual processors, especially when the allowable (and actual) number of faults in the system exceeds two. Theorems are formulated and proven to define the specific characteristics of the system for organizing mutual testing, under which the described phenomenon becomes feasible, however, in one way or another, the indices of processors with undefined states become known. The advantages of connection architectures described by circulant graphs are highlighted, particularly the fact that the number of processors in such architectures can be arbitrary – an attribute not always present in other cases (e.g., architectures with connection switches of the rectangular or hypercube type). Faulttolerant multiprocessor systems with an allowable number of faults T = 2, 3, and 4 are examined in detail. It is shown that in the case of T = 2, no ambiguities arise; however, for T = 4, up to three ambiguities may occur (for T = 3 – up to two) depending on certain jumps in the circulant graph and specific combinations of functional and non-functional processors in the system. Examples of circulant graphs are provided where such ambiguities do not arise.

Стаття присвячена проблемі організації самотестування багатопроцесорних систем. Аналізуються випадки, коли стан деяких процесорів (справний чи несправний) залишається невизначеним після виконання певної множини взаємних тестувань процесорів. Для встановлення стану таких процесорів потрібне використання деяких додаткових можливостей, наприклад додаткових зв’язків між процесорами. Невизначеність виникає частіше за все у таких випадках, коли кількість процесорів, які тестують даний процесор, є меншою за допустиму кількість відмов. Досліджуються багатопроцесорні системи, діагностичні графи яких можна представити графами-циркулянтами, зокрема графами з двома вхідними та двома вихідними дугами. Це пов’язано з вирішенням задачі мінімізації кількості взаємоперевірок процесорів системи (дійсно, кожний процесор тестується всього лише двома іншими). Проте при цьому може виникнути певна невизначеність у процесі встановлення стану окремих процесорів, і це може бути саме тоді, коли кількість допустимих (а також наявних) відмов у системі перевищує 2. Формулюються та доводяться теореми, які визначають конкретні характеристики системи організації взаємотестувань, коли описане явище стає можливим, але так чи інакше номери процесорів, стан яких не визначено, стають відомими. Відзначаються переваги архітектур зв’язків, котрі можуть бути описані графами-циркулянтами, зокрема те, що кількість процесорів в них може бути довільною, що не завжди має місце в інших випадках (наприклад в архітектурах з комутаторами зв’язків типу прямокутник або гіперкуб). Детально розглядаються відмовостійкі багатопроцесорні системи з допустимим числом відмов Т = 2, 3 та 4. Показується, що у випадку Т = 2 невизначеності не виникають, але при Т = 4 їх може виникнути до трьох (у випадку Т = 3 – до двох) при деяких стрибках у графі-циркулянті та деяких комбінаціях розміщення справних та несправних процесорів у системі. Наводяться приклади графів-циркулянтів, коли подібне не має місця