On the Koebe quarter theorem for polynomials

Abstract

The Koebe One Quarter Theorem states that the range of any Schlicht function contains the centered disc of radius 1/4 which is sharp due to the value of the Koebe function at ´1. A natural question is finding polynomials that set the sharpness of the Koebe Quarter Theorem for polynomials. In particular, it was asked in [8] whether Suffridge polynomials [15] are optimal. For polynomials of degree 1 and 2 that is obviously true. It was demonstrated in [10] that Suffridge polynomials of degree 3 are not optimal and a promising alternative family of polynomials was introduced. These very polynomials were actually discovered earlier independently by M. Brandt [4] and D. Dimitrov [7]. In the current article we reintroduce these polynomials in a natural way and make a far-reaching conjecture that we verify for polynomials up to degree 6 and with computer aided proof up to degree 51. We then discuss the ensuing estimates for the value of the Koebe radius for polynomials of a specific degree.

Теорема Кебе про одну чверть стверджує, що область значень будь-якої шліхт функції містить диск радіусу 1/4 з центром в точці z = 0. Ця оцінка на радіус є точною і досягається для значення функції Кебе в точці z = ´1. Природним питанням є пошук поліномів, які визначають остаточність теореми Кебе. Зокрема, Димитров ставив питання, чи є оптимальними поліноми Саффріджа. Для поліномів степеня 1 та 2 це, очевидно, так. Дмитришин, Дьяконов і Стоколос, у спільній роботі показали, що поліноми Саффріджа степеня 3 не є оптимальними, і запропонували перспективне альтернативне сімейство поліномів. Виявилося, що ці поліноми були відкриті раніше Брандтом і, незалежно, Димитровим. В даній статті такі поліноми означено більш природним чином. Крім того в роботі висунуто важливу гіпотезу, яку перевірено для поліномів степеня ď 6 вручну, а за допомогою комп’ютерного пакета.