Computational aspects of Iarge-length cycle search algorithms for nonlinear discrete systems

Abstract

Even the simplest nonlinear discrete systems dynamics is very complex. It includes both periodic movements and quasiperiodic or recurrent ones. In such systems, almost always present are the chaotic attractors, whose nature is currently well studied, at least for a wide class of model equations. In many cases, chaotic attractors can be modeled using periodic motions characterized with large periods. Such attractors’ and minimal invariant sets’ search represents an important task of applied mathematics, with respect to that the solutions are used in physical, chemical, economic sciences, in coding theory, signal transmission theory and so on. However, mathematical results based on computer calculations require a careful verification, since these calculations themselves are carried out approximately, and the chaotic systems are very sensitive to calculation errors. One of the approaches to solving the cycles search and verification problem is based on the application of these cycles’ stabilization methods. These methods can be divided into two groups: delayed control, that uses knowledge on system’s previous states, and predictive control, which uses the future values of system state in the absence of control. This study purpose is to demonstrate the effectiveness of the cycles search averaged predictive control method on some dynamical systems widely referred to in technical reference sources. Another important goal we aimed onto is to formulate the necessary conditions at which the orbit found actually represents a cycle. The article exposes the elaboration of predictive control methods: the averaged predictive control is used, at that the cycles search algorithms based on such control properties are offered. Noted are various features of algorithms’ functioning that depend on the original discrete system properties. Proposed are the cyclic points’ verification methods in the form of three necessary conditions of point’s cyclicity: checking the smallness of the residual, checking the periodicity and checking the cycle local asymptotic stability. Well-known two-dimensional discrete systems such as Lozi, Henon, Ikeda, Elhadj-Sprott, Multihorseshoe, Prey-Predator have been chosen to demonstrate the algorithm and numerical simulation. These systems’ essential features include the presence of large lengths cycles with a dominant multiplier, i.e. when two-dimensional case one multiplier has larger modulus, and another’s modulus is less than one. With this class of systems, the proposed algorithm operates particularly efficiently. The developed method can also be used to study the discrete dynamical systems’ topological properties dependence on changes in parameters, as well as to study the presence of bifurcations and their types.

Динаміка навіть найпростіших нелінійних дискретних систем є досить складною. Вона включає в себе, як періодичні руху, так і квазіперіодичні або рекурентні. У таких системах майже завжди присутні хаотичні атрактори, природа яких на сьогодні досить добре вивчена, а саме, для широкого класу модельних рівнянь. У багатьох випадках хаотичні атрактори можна моделювати за допомогою періодичних рухів з великими періодами. Пошук таких атракторів і мінімальних інваріантних множин на них є важливим завданням прикладної математики – рішення використовуються в фізичних, хімічних, економічних науках, в теорії кодування, передачі сигналів і ін. Проте математичні результати, засновані на комп'ютерних обчисленнях, вимагають ретельної перевірки на верифікацію, так як самі обчислення проводяться наближено, а хаотичні системи дуже чутливі до похибок обчислень. Один з підходів вирішення завдань пошуку і верифікації циклів заснований на застосуванні методів стабілізації цих циклів. Ці методи можна розділити на дві групи: контроль із запізненням, який використовує знання про попередні стани системи, і прогнозує контроль, який використовує майбутні значення стану системи при відсутності управління. Мета роботи – показати ефективність методу усередненого прогнозуючого контролю пошуку циклів на деяких популярних в технічній літературі динамічних системах. А також сформулювати необхідні умови того, що знайдена орбіта є дійсно циклом.У статті розвиваються методи прогнозуючого контролю: використовується усереднений прогнозуючий контроль, і пропонуються алгоритми пошуку циклів, засновані на властивостях такого контролю. Відзначаються різні особливості роботи алгоритмів в залежності від властивостей вихідної дискретної системи. Запропоновано методи верифікації циклічних точок у вигляді трьох необхідних умов циклічності точки: перевірка малої нев’язки, перевірка періодичності і перевірка локальної асимптотичної стійкості циклу. Для демонстрації роботи алгоритму і чисельного моделювання були обрані відомі двовимірні дискретні системи, такі як Lozi, Henon, Ikeda, Elhadj-Sprott, Multihorseshoe, Prey-Predator. До істотних особливостей цих систем відносяться наявність циклів великих довжин з домінуючим мультиплікатором, тобто в двовимірному випадку з одним великим по модулю мультиплікатором, а другим по модулю меншим одиниці. Для такого класу систем запропонований алгоритм працює особливо ефективно. Розроблений метод можна використовувати і для дослідження залежності топологічних властивостей дискретних динамічних систем від зміни параметрів, вивчення наявності біфуркацій і їх типів.