Analysis of the factorization method based on elliptic curves theory

Abstract

The purpose of this paper is the analysis of elliptic curve method, in particularly the probabilistic approach of method research, and also the research of subexponential complexity definition. This paper describes the possibilities of the elliptic curves theory apparatus use. A comparative analysis of the existing factorization methods is given. The choice of the method based on the elliptic curves theory is substantiated. Special attention is paid to the method’s probabilistic and subexponential character. The method’s main directions of development and optimization are described. Possible approaches for described problems solving are given and analyzed. The possibility of creating a probabilistic model which applies the elliptic curves theory in factorization is considered. On the basis of the carried out analysis, further research is performed for all known subexponential factorization algorithms, taking into account the possibility of developing a probabilistic approach.

У даній статті описані можливості використання апарату теорії еліптичних кривих, зокрема, при вирішенні задачі факторизації складеного числа. Дана задача займає фундаментальне положення серед як чисто математичних, так і прикладних наук. Розглянуто проблему імовірнісного принципу роботи субекспоненційних методів факторизації. Дан порівняльний аналіз існуючих субекспоненційних методів факторизації. Описані основні ідеї, переваги та недоліки метода решета числового поля, окрема увага уділяється проблемі визначення гладкого числа для даного класу алгоритмів. Обґрунтовано вибір методу, заснованого на теорії еліптичних кривих. Ідея методу ґрунтується на побудові псевдокривої над кільцем лишкiв складеного числа. Завдяки цьому вдається отримувати ситуації, коли неможливо знайти зворотний елемент в заданому кільці при складанні двох точок кривої, що сигналізує про знаходження дільника. Головною особливістю методу є залежність його обчислювальної складності від найменшого дільника числа, що факторизується, а не від безпосередньо нього самого. Обґрунтована перспективність дослідження та розвитку цього метода. Описані головні задачі, що виникають при докладному аналізі методу еліптичних кривих. Особлива увага приділяється імовірнісному і субекспоненціальному характеру методу. Описана та проаналізована проблема визначення терміну субекспоненційна складність алгоритму, зокрема аналізується субекспоненційна складність безпосередньо методу еліптичних кривих. Описано основні напрямки розвитку та оптимізації метода. Дано та проаналізовано можливі підходи до вирішення описаних проблем. Розглядана можливість створення імовірнісної моделі, що використовує теорію еліптичних кривих при факторизації. В основі заданого рішення полягає використання ефективних генераторів псевдо випадкових чисел. На основі проведеного аналізу проводяться подальші дослідження для всіх відомих алгоритмів факторизації субекспоненціального класу з урахуванням можливості розробки імовірнісного підходу. Також увага приділяється питанням щодо дискримінанту кривої, та його властивостям що дозволяють на його основі отримувати дільники складеного числа.

. В данной статье описаны возможности использования аппарата теории эллип- тических кривых, в частности, при решении задачи факторизации составного числа. Дан сравнительный анализ существующих методов факторизации. Обоснован выбор метода, основанного на теории эллиптических кривых. Особое внимание уделяется вероятностному и субэкспоненциальному характеру метода. Описаны основные направления развития и оптимизации метода. Даны и проанализированы возможные подходы к решению описанных проблем. Рассмотрена возможность создания вероятностной модели, использующей теорию эллиптических кривых при факторизации. На основе проведенного анализа проводятся дальнейшие исследования для всех известных алгоритмов факторизации субэкспоненциального класса с учетом возможности разработки вероятностного подхода.