Mathematical foundation of information technologies in modern nonlinear dynamical systems

Abstract

In this paper it is considered and generalized hypothesis about existence of 3 classes of processes: physical, mental and mathematical. It is shown that in all nonlinear dynamical systems the key factor in determining their quantitative and qualitative characteristics is the information about fixed points of dynamical systems and their orbit properties.

Розглянута і узагальнена гіпотеза про існування 3х класів процесів: фізичних, ментальних та математичних. У відповідності до визначення узагальненої моделі взаємодія цих процесів має місце як прямий, так і зворотній зв’язок. Доведено, що взаємодія між цими процесами адекватно описується за допомогою математичної моделі нелінійних динамічних систем. Встановлено, що першорядними елементами даних моделей є інформація та відповідні інформаційні технології. Доведено, що в усіх нелінійних динамічних системах ключовим фактором визначення їхніх кількісних та якісних характеристик є інформація про нерухомі точки динамічної системи та властивості їхніх траєкторій. Встановлено, що в нелінійних динамічних системах будь-якого типу потенційно існує нескінченна множина нерухомих точок з потенційно нескінченною довжиною траєкторій. Досліджена проблема узгодженості різних класів динамічних систем та показано, що міра невизначеності структури траєкторій зі збільшенням довжини циклу наближається до нескінченності. Відповідно, розкриття цієї невизначеності є джерелом потенційно нескінченної кількості інформації. Встановлено, що отримана інформація може бути використана для керування процесами прийняття рішень, а в ідеалі і задачах оптимального управління. Показано, що перенесення інформації на конгруентні динамічні системи представляє собою основу інформаційних систем. Доведено, що дослідження структури циклів траєкторій є важливим джерелом інформації щодо структури хаотичних процесів, що протікають в таких системах. Такого роду дані стосовно хаотичних процесів представляють собою носій інформації, що є необхідним в системах інформаційних технологій в наступних класах задач: комп’ютерне моделювання еволюційного розвитку динамічних систем, генерація випадкових чисел, дослідження динамічної структури формування класів простих чисел, побудова методів криптографічного захисту інформації, побудова методів геш-функцій, дослідження нерухомих точок, прогнозування часових рядів та ряд інших прикладних задач. Досліджені методи оцінки узгодженості різних типів динамічних систем, що задаються за допомогою нелінійних відображень

Рассмотрена и обобщенная гипотеза о существовании 3х классов процессов: физических, ментальных и математических. Доказано, что во всех нелинейных динамических системах ключевым фактором определения их количественных и качественных характеристик является информация о неподвижных точках динамической системы и свойствах их траекторий.