On the cascade GL-model and its properties

Abstract

The article proposes a new direction for the further development of GL-models – models on the basis of which performs the calculation of the reliability parameters of fault-tolerant multiprocessor systems. Such models reflect the reaction of the system to the appearance of failures of arbitrary multiplicity. The essence of the new direction is the construction of a model by composition of several basic GL-models in such a way that the values of the edge functions of one model form the input vector of the next one. This article shows that the model obtained in this way, which is proposed to be called cascade model, will also be basic and, in general case, can consist of an arbitrary number of submodels. This article gives a formula that allows one to determine the value of the degree of fault tolerance of the cascade model, depending on the values of the levels of fault tolerance of its component submodels. This article shows that the graphs of both the cascade and regular models are cyclic and have the same number of edges. At the same time, despite the fact that the intermediate submodels also have graphs, their presence does not increase the complexity of the model as a whole, since only the expressions of the edge functions are used in them. This article contains examples that confirm the correctness of the theoretically obtained results, and it also shows that the cascade model, at least in some cases, has lower computational complexity (the total number of logical operations in the expressions of edge functions) compared to the basic model. It was found that although the cascade model is basic, the sets of edges it loses and the regular basic GL-model on some input vectors may differ. In certain cases, several alternative cascade models can be built, which will differ in their parameters, but will have the same resulting value of the degree of fault tolerance. Given an example, where the properties of such alternative cascade models are compared. It was found that such models differ both in computational complexity and, in some cases, in the sets of edges they lose on certain input vectors. The possibility of modifying the cascade model was shown by changing the expressions of the edge functions of its component submodels, both individually and several simultaneously. At the same time, it is possible to block vectors with an increased multiplicity of zeros. A number of tasks for future research were formulated.

В статті пропонується новий напрямок подальшого розвитку GL-моделей – моделей, на базі яких виконується розрахунок надійнісних параметрів відмовостійких багатопроцесорних систем. Такі моделі віддзеркалюють реакцію системи на появу відмов довільної кратності. Суть нового напрямку – побудова моделі шляхом композиції декількох базових GL-моделей таким чином, що, значення реберних функцій однієї моделі формують вхідний вектор наступної. Показано, що отримана таким чином модель, яку запропоновано називати каскадною, також буде базовою та в загальному випадку може складатися із довільної кількості підмоделей. Наведено формулу, що дозволяє визначати значення ступеня відмовостійкості каскадної моделі, в залежності від значень рівнів відмовостійкості її складових підмоделей. Показано, що графи як каскадної, так і звичайної моделей є циклічними та мають однакову кількість ребер. При цьому, не зважаючи на те, що проміжні підмоделі також мають графи, їх наявність не підвищує складності моделі в цілому, оскільки в них використовуються лише вирази реберних функцій. На прикладах підтверджено коректність теоретично отриманих результатів, а також показано, що каскадна модель, принаймні, в деяких випадках має меншу розрахункову складність (загальну кількість логічних операцій у виразах реберних функцій), в порівнянні зі звичайною. Виявлено, що, хоч каскадна модель є базовою, множини ребер, які втрачає вона та звичайна базова GL-модель на деяких вхідних векторах можуть відрізнятися. В певних випадках може бути побудовано декілька альтернативних каскадних моделей, що відрізнятимуться своїми параметрами, але матимуть однакове результуюче значення ступеня відмовостійкості. На прикладі виконано порівняння властивостей таких альтернативних каскадних моделей. Виявлено, що такі моделі відрізняються як за розрахунковою складністю, так і, в деяких випадках, за множинами ребер, які вони втрачають на певних вхідних векторах. Показано можливість модифікації каскадної моделі шляхом зміни виразів реберних функцій її складових підмоделей, як кожної окремо, так і декількох одночасно. При цьому можливим є блокування векторів із підвищеною кратністю нулів. Сформульовано ряд задач для майбутніх досліджень.