Forced harmonic oscillations of the Eu ler-Bernoulli beam with resistance forces.

Abstract

The important issue in the oscilla- tion theory is the study of resistance imp act on oscillatory processes. Unlike the calculations of free oscillations, that resi de in determination of natural frequencies and wavesh apes and unlike the calculations of forced osc illations far away from resonance, that are perf orming with- out reference to friction, the oscillations researches in vicinity of resonance need accounting of friction forces. Special att ention is paid to forced transverse fluctuations in beams as an impo rtant technical problem for engineering and building. Aim: The aim of the work is con- structing of analytical solution of the probl em of forced transverse vibrations of a straight rod with constant cross-section, which is under the influence of the harmonic load taking into account external and internal resistances. Materials and Methods: The internal resistance is taken into account using the corrected hypothesis of Kelvin-Voigt which reflects the empiri cally proven fact about the frequency-inde pendent internal friction in the material. The external fr iction is also considered as frequency-independent. Results: An analytical solution is built for the differential equation of forced transverse oscillations of a straight rod w ith constant cross-section which is under the in fluence of the harmonic load taking into account external a nd internal resistances. As a result, anal ytically derived formulae are presented w hich describe the forced dynamic oscillations a nd the dynamic internal forces due to the harmonic load applied to the rod thus reducing the p roblem with any possible fixed ends to the search of unknown integrati on constants represented in a form of initial parameters.

Важливим питанням в теорії коливань є вивчення впливу опорів на коливальні процеси . На відміну від розрахунків вільних коливань , дослідження коли - вань поблизу резонансу вимагає врахування сил опору . Особлива увага приділяється вимушеним поперечним коливанням балок , як важливій технічній проблемі для галузей машинобудування та будівництва . Мета : Метою роботи є побудова аналітичного рішен - ня задачі про вимушені поперечні коливаннях прямого стрижня постійного поперечного перерізу , що знаходиться під впливом гармонійного навантаження , з урахуванням зовнішнього і внутрішнього опорів . Матеріали і методи : Внутрішній опір врахову - ється за скоректованою гіпотезою Кельвіна - Фойгта , яка відображає підтверджений шляхом експерименту факт про частотно - незалежне внутрішнє тертя в матеріалі . Природа зовнішнього тертя також вважається частотно - незалежною . Результати : Побудо - вано аналітичний розв ’ язок диференціального рівняння вимушених поперечних коливань прямого стержня постійного перерізу , що перебуває під дією рівномірно розподіленого гармонічного навантаження , з урахуванням зовнішнього та внутрішнього опорів . Як наслідок , в аналітичному вигляді отримано формули , які дозволяють визначати вимушені динамічні коливання та динамічні внут - рішні зусилля від гармонічного навантаження стержня , зводячи задачу при будь яких можливих закріпленнях кінців до пошуку невідомих сталих інтегрування , які представлено у формі початкових параметрів .