Multidimensional Laplace Approximation Via Trotter Operato

Abstract

The classical distribution of Laplace, along with the normal one, became one of the most actively used symmetric probabilistic models. A separate task of mathematics is the Laplace approximation, i.e. method of estimating the parameters of the normal distribution in the approximation of a given probability density. In this article the problem of Laplace approximation in ddimensional space has been investigated. In particular, the rates of convergence in problems of the multidimensional Laplace approximation are studied. The mathematical tool used in this article is the operator method developed by Trotter. It is very elementary and elegant. Two theorems are proved for the evaluation of convergence rate. The convergence rates, proved in the theorems, are expressed using two different types of results, namely: estimates of the convergence rate of the approximation are obtained in terms of “large-O” and “small-o”. The received results in this paper are extensions and generalizations of known results. The results obtained can be used when using the Laplace approximation in machine learning problems. The results in this note present a new approach to the Laplace approximation problems for the d-dimensional independent random variables.

Класичне розподілення Лапласа поряд з нормальним, стало однією з найбільш активно використовуваних симетричних імовірнісних моделей. Окремою задачею математики є апроксимація Лапласа, тобто спосіб оцінки параметрів нормального розподілення при апроксимації заданої щільності ймовірності. В даній статті досліджено задачу апроксимації Лапласа в d-вимірному просторі. Зокрема, вивчені швидкості збіжності в задачах багатовимірної апроксимації Лапласа. Математичним засобом, використаним в даній статті, є операційний метод, розроблений Троттером. Доведено дві теореми для оцінки швидкості збіжності. Швидкості збіжності, доведені в теоремах, виражаються за допомогою двох різних типів результатів, а саме: отримані оцінки швидкості збіжності апроксимації в термінах «О велике» і «о мале». Отримані результати можуть застосовуватися при використанні апроксимації Лапласа в задачах машинного навчання. Результати статті представляють собою новий підхід до задач апроксимації Лапласа для d-мірних незалежних випадкових величин.

Классическое распределение Лапласа наряду с нормальным, стало одной из наиболее активно используемых симметричных вероятностных моделей. Отдельной задачей математики является аппроксимация Лапласа, т.е. способ оценки параметров нормального распределения при аппроксимации заданной плотности вероятности. В данной статье исследована задача аппроксимации Лапласа в d-размерном пространстве. В частности, изучены скорости сходимости в задачах многомерной аппроксимации Лапласа. Математическим средством, использованным в данной статье, является операторный метод, разработанный Троттером. Доказаны две теоремы для оценки схорости сходимости. Скорости сходимости, доказанные в теоремах, выражаются с помощью двух разных типов результатов, а именно: получены оценки скорости сходимости аппроксимации в терминах «О большое» и «о малое». Полученные результаты могут применяться при использовании аппроксимации Лапласа в задачах машинного обучения. Результаты статьи представляют собой новый подход к задачам аппроксимации Лапласа для d-мерных независимых случайных величин.