Speeded search of the periodic processes of dynamical systems.

Abstract

Modelling of periodic processes of electromagnetic devices is a complex problem. The task of finding of periodic so lutions of nonlinear differential equations is more complex tha n the Cauchy task of integrating of these equations becau se it imposes another condition on the solution ⎯ the condition of periodicity, that is it becomes a point-to-point T -periodic boundary value problem of nonlinear differential equations. Aim: The aim of the work is to simplify the computing method of the sensitivity matrix elements of the object paramete rs to their initial conditions by analytical solution of the eq uations of first variation. Materials and Methods: The author proposed to calculate the matrix elements of the sensitivity model to the initial conditions of the variational equations not through their jo int numerical integration with the original equations in the period but to search for the common solution of these equations by means of using a transition state matrix. In this case the order of the equations of the object remains the same, restrictions on the method use for analysis of complex dynamica l systems are removed and its efficiency improves significantly. Results: Due to the independence of differential equations in variations fr om external influence, they become a homogeneous system of li near dif- ferential equations. This approach greatly simplifies the analysis and removes the rest rictions on the application of the metho d of sensitivity to initial conditions during the study of dynamical systems of any complexity.

Моделювання періодичних процесів електро - магнітних пристроїв є складною проблемою . Завдання пошуку періодичних розв ’ язань нелінійних диференціальних рівнянь склад - ніше , ніж задача Коші інтегрування цих рівнянь , оскільки воно накладає на розв ’ язання умову періодичності , тобто задача стає двоточковою Т - періодичною крайовою задачею нелінійних диференціальних рівнянь . Мета : Метою роботи є спрощення методу обчислення елементів матриці чутливості параметрів об ’ єкта до своїх початкових умов шляхом аналітичного розв ’ язання рівнянь першої варіації . Матеріали і методи : Пропонується обчислювати елементи матриці моделі чутливості до початкових умов із варіаційних рівнянь не шляхом їх сумісного чисельного інтегрування разом з вихідними рівняннями на періоді , а шукати загальне розв ’ язання цих рівнянь з використанням перехідної матриці стану . При цьому залишається незмінним порядок рівнянь об ’ єкта , знімаються обмеження на застосування методу для аналізу складних динамічних систем , значно покращується його ефективність . Результати : Завдяки незалежності диференціальних рівнянь у варіаціях від зовнішнього впливу вони стають однорідною систе - мою лінійних диференціальних рівнянь . Такий підхід суттєво спрощує аналіз і знімає обмеження на застосування методу чутливос - ті до початкових умов при дослідженні динамічних систем будь - якої складності .